ریاضی هفتم صفحه 88 - فعالیت 1
۱ـ مانند نمونه، عبارتهای تواندار را حساب کنید.
$۲^۳ = ۲ \times ۲ \times ۲ =$
$(-۲)^۲ = (-۲) \times (-۲) =$
$(-۲)^۳ =$
$(-۲)^۴ =$
$(-۲)^۵ =$
$-۲^۴ =$
با توجه به توانها و حاصل عبارتها چه نتیجهای میگیرید؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 88 - فعالیت 1
این فعالیت مهمترین بخش درس اعداد تواندار است! اینجا یاد میگیرید که علامت **منفی** چگونه تحت تأثیر **توان زوج** و **توان فرد** قرار میگیرد. نکته اصلی این است: آیا علامت منفی **داخل پرانتز** است یا **خارج از پرانتز**؟
### الف) محاسبه عبارتها
1. **توان با پایه مثبت:**
$$۲^۳ = ۲ \times ۲ \times ۲ = ۸$$
2. **پایه منفی با توان زوج (پرانتز دارد):**
$$(-۲)^۲ = (-۲) \times (-۲) = ۴$$ (ضرب دو عدد منفی، مثبت است)
3. **پایه منفی با توان فرد (پرانتز دارد):**
$$(-۲)^۳ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = ۴ \times (-۲) = -۸$$ (سه عدد منفی، منفی است)
4. **پایه منفی با توان زوج (پرانتز دارد):**
$$(-۲)^۴ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = (۴) \times (۴) = ۱۶$$
5. **پایه منفی با توان فرد (پرانتز دارد):**
$$(-۲)^۵ = (-۲)^۴ \times (-۲) = ۱۶ \times (-۲) = -۳۲$$
6. **توان بدون پرانتز (فقط برای عدد، نه علامت):**
$$-۲^۴ = -(۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲) = -(۱۶) = -۱۶$$
### ب) نتیجهگیری
با توجه به مثالها، دو نکته مهم را در مورد توان اعداد منفی یاد میگیریم:
1. **اثر پرانتز:** اگر علامت منفی **داخل پرانتز** باشد (مانند $(-۲)^n$)، علامت منفی به همراه عدد پایه، به توان میرسد.
* اگر توان **زوج** باشد (مانند $(-۲)^۲$ و $(-۲)^۴$)، حاصل **مثبت** میشود، زیرا تعداد زوجی از علامتهای منفی در هم ضرب شدهاند.
* اگر توان **فرد** باشد (مانند $(-۲)^۳$ و $(-۲)^۵$)، حاصل **منفی** میشود، زیرا تعداد فردی از علامتهای منفی در هم ضرب شدهاند.
2. **اثر عدم وجود پرانتز:** اگر علامت منفی **خارج از پرانتز** باشد یا اصلا پرانتزی وجود نداشته باشد (مانند $-۲^۴$)، علامت منفی روی عدد پایه اثر **نمیگذارد** و فقط حاصل توان عدد مثبت را منفی میکند. در این حالت، علامت منفی نهایی همیشه **منفی** است.
ریاضی هفتم صفحه 88 - فعالیت 2
۲ـ عبارتهای زیر را حساب کنید.
$(-۲)^۳ =$
$-۲^۳ = -۲ \times ۲ \times ۲ =$
$(-۲)^۴ =$
$-۲^۴ =$
**توجه:** این تصویر تکراری از مثالهای فعالیت ۱ است، اما با ترتیب متفاوتی از عبارتها و یک نمونه حل شده است.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 88 - فعالیت 2
این تمرین دوباره بر تفاوت مهم بین توان با پرانتز و توان بدون پرانتز تأکید میکند.
### یادآوری: تفاوت پرانتز و بدون پرانتز
* **$(-۲)^n$ (با پرانتز):** یعنی **هم** عدد ۲ و **هم** علامت منفی در هم ضرب میشوند.
* **$-۲^n$ (بدون پرانتز):** یعنی ابتدا $۲^n$ محاسبه میشود، سپس علامت منفی به جواب اضافه میشود.
### محاسبه عبارتها
1. **$(-۲)^۳$ (پایه منفی، توان فرد):**
* علامت منفی در پرانتز است. چون توان (۳) فرد است، حاصل منفی میشود.
$$(-۲)^۳ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = -۸$$
2. **$-۲^۳$ (بدون پرانتز):**
* علامت منفی خارج از توان است. ابتدا $۲^۳$ را حساب میکنیم، سپس منفی میکنیم.
$$-۲^۳ = -(۲ \times ۲ \times ۲) = -۸$$
**نکته جالب:** برای توانهای فرد، حاصل $(-a)^n$ و $-a^n$ یکسان است.
3. **$(-۲)^۴$ (پایه منفی، توان زوج):**
* علامت منفی در پرانتز است. چون توان (۴) زوج است، حاصل مثبت میشود.
$$(-۲)^۴ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = ۱۶$$
4. **$-۲^۴$ (بدون پرانتز):**
* علامت منفی خارج از توان است. ابتدا $۲^۴$ را حساب میکنیم، سپس منفی میکنیم.
$$-۲^۴ = -(۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲) = -۱۶$$
**نکته بسیار مهم:** برای توانهای زوج، حاصل $(-a)^n$ (مثبت) و $-a^n$ (منفی) **متفاوت** است.
ریاضی هفتم صفحه 88 - تمرین 3
۳ـ الگوی عددی زیر را کامل کنید.
$$۲^۶ \rightarrow ۲^۵ \rightarrow ۲^۴ \rightarrow ۲^۳ \rightarrow ۲^۲ \rightarrow ۲^۱ \rightarrow ۲^۰$$
$$۶۴ \rightarrow ۳۲ \rightarrow ۱۶ \rightarrow \_\_\_\_\_\_ \rightarrow \_\_\_\_\_\_ \rightarrow \_\_\_\_\_\_$$
ارتباط بین عددهای تواندار و حاصل آنها را توضیح دهید. به نظر شما در جای خالی، چه عددی باید نوشت؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 88 - تمرین 3
این تمرین یک الگوی عددی مهم در مورد **قوانین تقسیم توانها** را نمایش میدهد و به شما کمک میکند تا مفهوم **توان صفر** را بهتر درک کنید.
### الف) ارتباط بین توانها و حاصل آنها
* **ردیف اول (اعداد تواندار):** در این ردیف، **پایه** ثابت ($۲$) است و **توان** یکی یکی کم میشود: $۶, ۵, ۴, ۳, ۲, ۱, ۰$.
$$\text{قاعده: } ۲^n \rightarrow ۲^{n-۱}$$
* **ردیف دوم (حاصل عبارتها):** در این ردیف، حاصل هر عدد، **نصف** عدد قبلی است. وقتی توان یک واحد کم میشود (مثلاً از $۲^۶$ به $۲^۵$)، در واقع عدد بر $۲$ تقسیم شده است.
$$\frac{۲^۶}{۲} = ۲^{۶-۱} = ۲^۵$$
$$\text{قاعده: } \text{عدد بعدی} = \frac{\text{عدد قبلی}}{۲}$$
### ب) تکمیل الگو و پر کردن جاهای خالی
1. **$۲^۳ = ۸$**: پس حاصل زیر $۲^۳$ عدد $۸$ است.
$$۶۴ \div ۲ = ۳۲$$
$$۳۲ \div ۲ = ۱۶$$
$$۱۶ \div ۲ = \mathbf{۸}$$
2. **$۲^۲ = ۴$**: حاصل بعدی $۸$ تقسیم بر ۲ است.
$$۸ \div ۲ = \mathbf{۴}$$
3. **$۲^۱ = ۲$**: حاصل بعدی $۴$ تقسیم بر ۲ است.
$$۴ \div ۲ = \mathbf{۲}$$
4. **$۲^۰ = ۱$**: حاصل بعدی $۲$ تقسیم بر ۲ است.
$$۲ \div ۲ = \mathbf{۱}$$
**الگوی تکمیل شده:**
$$۶۴ \rightarrow ۳۲ \rightarrow ۱۶ \rightarrow \mathbf{۸} \rightarrow \mathbf{۴} \rightarrow \mathbf{۲} \rightarrow \mathbf{۱}$$
### ج) نتیجهگیری
این الگو به ما نشان میدهد که برای حفظ یکنواختی قاعده تقسیم بر $۲$:
$$\frac{۲^۱}{۲} = ۲^{۱-۱} = ۲^۰$$
پس، برای اینکه این تساوی برقرار باشد، **باید $۲^۰$ برابر $۱$ باشد.** این بهترین دلیل برای تعریف هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر با $۱$ است.
